Strahlungstransport in streuenden Medien

Die Herstellung, Bearbeitung und auch die Verwendung von Glas und keramischen Werkstoffen als feuerfeste Materialien wird wesentlich durch Strahlungstransportprozesse beeinflusst. Die Abkühlung von heißen Glasschmelzen erfolgt im Wesentlichen durch Strahlung.

In der Medizin werden Photonen und Elektronenstrahlen seit geraumer Zeit zur Diagnostik und Therapie verwendet. So gehören beispielsweise die Computertomographie in der Krebsdiagnose oder die Dosimetrie in der Krebstherapie zu den anerkannten Behandlungsmethoden. Die optische Tomographie wird weltweit zur Erkennung von Strukturen und Eigenschaften im menschlichen Gewebe erforscht.

Gleichung beschreibt Strahlungstransport

Solche und ähnliche Prozesse aus dem Industrie- und Medizinbereich werden mittels der Strahlungstransportgleichung - einer Integro-Differentialgleichung - beschrieben. Im Fall isotroper bzw. linear anisotroper Streuung kann diese Integro-Differentialgleichung in eine Integralgleichung transformiert werden. Neben der Verringerung der Anzahl der Unbekannten hat eine solche Integralgleichungsformulierung enorme Vorteile bei der numerischen Lösung (gesicherte Stabilität, Symmetrie, gut konditionierte Systeme, Verwendung schneller Iterationsverfahren).

Auf der anderen Seite führt die Diskretisierung der Integralgleichung auf große, vollbesetzte Gleichungssysteme. Es wurde gezeigt, dass im Fall einer sehr starken Streuung das resultierende Gleichungssystem schlecht konditioniert ist (kleine Fehler, z.B. Rundungsfehler, können die gesuchte Lösung extrem verfälschen) und geeignete Vorkonditionierer verwendet werden müssen.

Integralformulierung, Matrixkompression, Diskrete-Ordinaten-Verfahren

Auf Grund der Vollbesetztheit ist es für praktische Anwendungen nicht angebracht, die Matrix in der ursprünglichen Form zu speichern. Matrix-Kompressionsmethoden, wie sie bei Randelementmethoden verwendet werden, bieten sich als effiziente Lösungsmethoden an und wurden auf den Strahlungstransport angewendet.

Beim Strahlungstransport ist aufgrund der exponentiellen Dämpfung die Effektivität dieses Auflösungsverfahrens sehr stark von der optischen Dicke abhängig. Das auf der Grundlage der Integralformulierung entwickelte Verfahren wurde mit dem derzeit in der Literatur sehr populären Diskrete-Ordinaten (DO)-Verfahren verglichen. Im Fall eines optisch dicken und stark streuenden Mediums ist die Integralgleichungsformulierung nicht zu empfehlen.

Dagegen liefert die Integralformulierung kombiniert mit der Matrixkompression sehr gute Ergebnisse im Fall eines optisch dünnen Mediums, bei dem das DO-Verfahren sehr viele diskrete Richtungen benötigt und damit uneffizient wird. Auch im Fall lokaler Wärmequellen ist die Integralgleichungsform dem DO-Verfahren überlegen und sollte bei der Lösung praktischer Probleme als Alternative beachtet werden.