Die Mathematik ist die Wissenschaft des Unendlichen, die Statistik die des Zufalls. Speziell zum Zufall sagte Albert Einstein jedoch: »Das, wobei unsere Berechnungen versagen, nennen wir Zufall.« Ist Statistik damit die Wissenschaft unseres eigenen Versagens, die abkömmlich wird, sobald wir diesen Makel in unseren Berechnungen entfernen? Kurz gesagt: Gibt es den Zufall wirklich? Und falls nein: Werden Statistiker:innen dann arbeitslos?
Wenn wir im Alltag vom Zufall sprechen, so offenbaren wir damit tatsächlich oft unsere eigene Unkenntnis. »So ein Zufall Dich hier zu treffen« rufen wir jemandem Bekannten in der Fußgängerzone zu. Das ist ein nicht-objektiver Zufall. Zunächst haben wir tatsächlich ein seltenes Ereignis, denn in den meisten sonstigen Fällen treffen wir diese Person vermutlich nicht in der Fußgängerzone.
Gleichzeitig ignorieren wir die Wirkketten. Fragen wir uns selbst, warum wir gerade jetzt, zu dieser Zeit an diesem Ort sind, so finden wir eine plausible Erklärung. Beginnend z.B. mit einem Termin, zu dem wir unterwegs sind und der schon seit Tagen so geplant ist. Unser Gegenüber kann vermutlich eine ähnliche Wirkkette berichten. Ein uns übergeordnete:r Beobachter:in würde also sagen: »Das habe ich seit Tagen kommen sehen.«
Pierre-Simon Laplace hat sich 1814 vorgestellt, dass eine Intelligenz, die zu einem gewissen Zeitpunkt die Positionen und Geschwindigkeiten aller Teilchen im Universum kennt, beliebig in die Zukunft und Vergangenheit rechnen könnte. Das passte gut zum damaligen Zeitgeist, als die klassische Mechanik scheinbar alles erklären konnte und Chaostheorie und Quantenmechanik noch in weiter Ferne lagen. Die von ihm beschriebene Intelligenz wird oft als Laplacescher Dämon bezeichnet.
Für diesen Dämon ist es ein Kinderspiel vorherzusagen, wann sich welche Menschen in der Fußgängerzone treffen. Auch ein Würfelwurf, mit exakt erfassten Positionen von Hand und Würfel, ist keine Herausforderung für ihn. Auch nicht der Roulette-Tisch oder die Lottomaschine. Nach einem kurzen Blick auf die Anfangsbedingungen würde er uns den genauen Ausgang vorhersagen. Einsteins Zitat (dass erst nach dem Laplaceschen Dämon getroffen wurde), scheint sich zu bestätigen.
Da unsere menschlichen Sinne nicht mal annähernd ausreichen, um bei einem selbstgeworfenen Würfel und somit selbstbestimmten Anfangsbedingungen ein gewünschtes Ergebnis herbeizuführen, könnte das, was wir als Zufall bezeichnen, eine Illusion sein. Wir sind schlechte Dämonen.
Die Quantenmechanik wirft dem Zufall einen Rettungsring zu. Für deren Verhältnisse kann man bereits sehr groß einsteigen, und zwar bei einem Atom, dass auf Grund seiner Größe instabil ist und radioaktiv zerfallen wird. Für den exakten Zeitpunkt, an dem ein einzelnes Atom zerfällt, kann man aber einfach keine Ursache finden.
Vielleicht war man bei der Suche nach diesem inneren Mechanismus einfach nicht sorgfältig genug. Vielleicht gibt es diesen Mechanismus aber tatsächlich nicht. Die Kopenhagener Deutung – 1927 von Nils Bohr und Werner Heisenberg formuliert – geht genau davon aus. Der unauffindbare innere Mechanismus scheint durch die pure Form des Zufalls ersetzt zu sein. Radioaktivität überrascht Dämonen also wohl tatsächlich.
Insbesondere hat diese Deutung aber auch Einstein überrascht, der Zeit seines Lebens an die Unvollständigkeit der Quantenmechanik glaubte. Sein Glaube resultierte in einigen hochinteressanten Gedankenexperimenten, über die er sich mit Vertretern der Kopenhagener Deutung austauschte, ohne diese jedoch überzeugen zu können. Und für Einstein kommt es noch schlimmer: Einsteins Glaube lässt sich mathematisch in Annahmen formulieren, welche lokaler Realismus genannt werden. Innerhalb dieser Annahmen kann man dann mathematisch ableiten, dass eine Ungleichung, die sogenannte Bellsche Ungleichung, gelten muss. Ohne die Mathematik hier jetzt nachzuvollziehen, wollen wir kurz festhalten: Es wurde wiederholt in Experimenten gezeigt, dass die Bellsche Ungleichung in der Quantenmechanik nicht gilt, Einsteins Annahmen damit verletzt sind. Einstein selbst hat dies nicht mehr erlebt – die Formulierung der Ungleichung, sowie die experimentellen Nachweise ihrer Verletzung geschahen erst nach seinem Tod.
Echter Zufall könnte somit tatsächlich in unserer Welt existieren. Zumindest in unserer kleinen Welt. Da drängt sich die naheliegende Frage auf: Schlägt sich der Zufall auch in unser makroskopisches Erleben durch?
Bereits Erwin Schrödinger hat das Kopfzerbrechen bereitet. Er koppelte den Zustand des Atoms an eine Giftflasche. Deren Inhalt wird freigesetzt, sobald das Atom zerfällt und tötet eine Katze. Nur im Gedankenexperiment übrigens. In der Quantenmechanik wird das Atom in einem Mischzustand angenommen. Es ist zerfallen und nicht zerfallen gleichzeitig (auch Superposition genannt). Erst wenn wir es beobachten, entscheidet es sich zufällig für einen Zustand. Wenn wir das Gedankenexperiment in eine Box stellen und den Deckel schließen, die Katze also nicht beobachten, ist sie dann auch in einem Mischzustand aus tot und lebendig? Schrödinger interpretierte dieses Gedankenexperiment als Beleg dafür, dass der Zufall rund um Superpositionen nicht in der makroskopischen Welt ankommt.
Dieses Phänomen hat natürlich auch einen physikalischen Namen, die sog. Dekohärenz: Tritt ein quantenmechanisches System mit seiner Umgebung in Wechselwirkung, so verschmieren die einzelnen Zustände statistisch und es verhält sich vorhersagbar. Ein wenig kann man sich das vorstellen, wie wenn man eine Millionen Würfel wirft: Die einzelnen Ergebnisse sind zufällig, aber der Mittelwert dieses Systems wird sehr sicher sehr nahe bei 3,5 sein. Je größer nun diese Systeme sind – je mehr Teilchen sie besitzen – desto schneller geht die Dekohärenz vonstatten. Dies ist der Grund, warum man bei Bowlingkugeln nicht die gleichen Effekte beobachtet wie bei Elektronen.
Plötzlich ist also eine Revanche von Einstein vorstellbar: In unserer Welt könnten es doch eher versagende Berechnungen sein und eben nicht der Zufall (der versandet auf den Weg aus dem Mikrokosmos nach oben).
Die Mathematik hat sich bereits früh aus dieser Diskussion herausgezogen, und den Zufall einfach axiomatisch definiert. Wenn sich etwas so und so verhält, dann nennen wir es Zufall und dann rechnen wir auf diese und jene Art und Weise damit.
Zur Verdeutlichung etwas klassische Geometrie. Euklid definierte einen Punkt als etwas, das keine Teile hat. Eine Linie ist eine Länge ohne Breite und zwei Punkte definieren über ihre Verbindungslinie genau eine Gerade. Daraus (und aus weiteren Definitionen und Axiomen) leitet sich quasi alle Geometrie ab, die man aus der Schule kennt. Ersetzt man jetzt »Punkt« durch »Tennispieler:in« und »Linie« bzw. »Gerade« durch »Doppelpaar«, lassen sich manche Sätze der Geometrie in (einigermaßen) sinnvolle Aussagen über Tennis übersetzen. Zwei Doppelpaare, die mindestens zwei Spieler:innen gemeinsam haben, sind gleich.
Was ist eigentlich ein Flächeninhalt? Eine Zahl, die einer geometrischen Figur (z.B. Dreieck) zugeordnet ist. Legt man zwei geometrische Figuren überlappungsfrei nebeneinander, so ist der Flächeninhalt gerade die Summe der einzelnen Flächeninhalte.
Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl, die einem Ereignis (z.B. »eine Eins oder Zwei würfeln«) zugeordnet ist. Legt man zwei Ereignisse überlappungsfrei zusammen (z.B. »eine Eins oder Zwei würfeln« mit »eine Drei würfeln«), so ist die Wahrscheinlichkeit gerade die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten. Seht Ihr die Analogie?
Die mathematisch übergeordnete Theorie ist die Maßtheorie. Flächeninhalte sind spezielle Maße, genau wie Wahrscheinlichkeiten spezielle Maße sind. Ob man dann jedem Würfelergebnis aus Symmetriegründen 1/6 zuordnet oder von gezinkten Würfeln redet, ist der Mathematik egal. Die Rechenregeln im Hintergrund bleiben unverändert.
Nun ist es nicht die Kernaufgabe der Statistik die Rechenregeln für alle Sorten von Würfeln zu studieren. Das macht ja bereits die Wahrscheinlichkeitstheorie. Statistik benutzt zwar die Modelle der Wahrscheinlichkeitstheorie, arbeitet dann aber immer auf realen Daten, um Einsichten in dahinterstehende Mechanismen zu erzeugen. Die gute Nachricht: Egal, ob es den Zufall im Makroskopischen gibt oder nicht, die Statistik bleibt nützlich. Teilweise sogar alternativlos.
Wer im Garten ein kreisrundes Beet anlegt, weiß genau, dass es kein exakter Kreis ist und das Pi auch nicht 3,14 ist. Dennoch werden beide Näherungen so gut funktionieren, dass das simple Modell eines Kreises zum Ziel führt (z.B. zur richtigen Menge an benötigten Randsteinen). Genauere Modelle über die Form des Beetes zu bedaten und zu berechnen ist Zeitverschwendung. Das simple Modell bleibt nützlich.
Wer vor einer Lottomaschine steht, dem nützt es nichts, dass ein Dämon theoretisch möglicherweise den Ausgang vorhersagen kann. Wir verfügen nicht über einen solchen Dämon. Jedes Modell der Lottomaschine, dass auch nur minimal über das simple statistische Modell hinausgeht, ist mangels Bedatung der Eingangsgrößen nicht berechenbar. Das simple Modell bleibt alternativlos.
Und außerdem: Ohne Statistik gäbe es auch nicht diesen Blog und Podcast. Allein dafür lohnt es sich doch schon die Dämonen zum Teufel zu jagen.
Fraunhofer-Institut für Techno- und Wirtschaftsmathematik ITWM